พื้นที่ผิวและปริมาตร

พื้นที่ผิวและปริมาตรที่ควรทราบดังนี้
1.  พีระมิด      2.  ปริซึม    3.  ทรงกระบอก   4.  กรวย   5.  ทรงกลม

------------------------------------------------------------------------------

รูปทรงสามมิติ  หมายถึง  รูปทรงที่แสดงให้เห็นความกว้าง  ความยาว  และความสูง 
ซึ่งได้แก่  ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก  ปริซึม  ทรงกระบอก  กรวย  ทรงกลม  เป็นต้น

                                  

1.       พิระมิด(Pyramid)  คือ ทรงสามเหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใด ๆ มียอดแหลม

ซึ่งไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน และทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลมของพีระมิดนั้น

หน้าทุกหน้าของพีระมิดรวมกัน  เรียกว่า
พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด  ซึ่งหาได้โดย 

                        พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด  =  จำนวนหน้า x x ฐาน x สูงเอียง

            หรือ     พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด  = x ความยาวรอบฐาน x สูงเอียง

เมื่อนำพื้นที่ผิวข้างรวมกับพื้นที่ฐานของ
พีระมิด  พื้นที่ทั้งหมดที่ได้ 
จะเรียกว่า  พื้นที่ผิวของพีระมิด

ซึ่งหาได้โดย             พื้นที่ผิวของพีระมิด  =  พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐาน

ปริมาตรของพีระมิด  =  x พื้นที่ฐาน x สูง

2.  ปริซึม  เป็นรูปทรงที่มีหน้าตัด(ฐาน)  ทั้งสองข้างเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ
มีหน้าข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก การเรียกชื่อปริซึมจะเรียกตามรูปหน้าตัดของปริซึม



รูปทรงลูกบาศก์  หมายถึง  รูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีความกว้าง  ความยาว  ความสูง  เป็น 1 หน่วยเท่ากัน 
ซึ่งเป็นหน่วยวัดปริมาตร  เรียกว่า  “ลูกบาศก์” และกำหนดให้มีปริมาตร  1  ลูกบาศก์หน่วย
  

ปริมาตรของรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก  ได้แก่

                                                               1.   ปริมาตรของรูปทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้า เป็นรูปที่มีมุมทุกมุมเป็นมุมฉาก 

                มีส่วนกว้าง  ส่วนยาว  และ
ส่วนสูงไม่เท่ากัน

                            2.  ปริมาตรของรูปทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัส  เป็นรูปที่มีมุมทุกมุมเป็นมุมฉาก
                            มีส่วนกว้าง  ส่วนยาว  และส่วนสูง

ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก =  ความกว้าง x ความยาว x ความสูง

หรือ     ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก =  พื้นที่ฐาน x ความสูง

                        3.  ทรงกระบอก  คือ  รูปสามมิติใดๆ ที่มีฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการ  อยู่ในระนาบที่ขนานกัน 
และเมื่อตัดทรงสามมิตินี้ด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้ว  จะได้รอยตัดเป็นวงกลมที่เท่ากันทุกประการกับฐานเสมอ

                                

รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวเท่ากับ

ความยาวของเส้นรอบรูปวงกลมที่เป็นฐานและมีความกว้างเท่ากับความสูงของทรงกระบอก 
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้เรียกว่า  “พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก”  และ  ผลบวกของพื้นที่ผิวข้างกับพื้นที่ฐานทั้งสองของทรงกระบอก  เรียกว่า  “พื้นที่ผิวของทรงกระบอก” 
จะได้สูตร  ดังนี้

พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก             =          2rh

พื้นที่ฐานทั้งสองของทรงกระบอก      =          2r²

ดังนั้น  พื้นที่ผิวของทรงกระบอก        =          2rh + 2r²

                        เมื่อ  r  แทนรัศมีของฐานของทรงกระบอก

และ  h แทนความสูงของทรงกระบอก

การหาปริมาตรของทรงกระบอก  หาได้

เช่นเดียวกับการหาปริมาตรของปริซึม  ดังนั้น

ปริมาตรทรงกระบอก  =  พื้นที่ฐาน  x  สูง

                                                            =  r²h

                        เมื่อ  r  คือ  รัศมีของฐานของทรงกระบอก

                        และ  h คือ  ความสูงของทรงกระบอก

การหาปริมาตรของทรงกระบอกหรือ
วงแหวน  หาได้โดย

ให้  r  แทนรัศมีภายในของทรงกระบอก  หรือรัศมีของทรงกระบอกเล็ก

      R  แทนรัศมีภายนอกของทรงกระบอก  หรือรัศมีของทรงกระบอกใหญ่ 
และ

  h  แทนความยาวของทรงกระบอก

                              จะได้ว่า  ปริมาตรของทรงกระบอกกลวง                       = ปริมาตรทรงกระบอกใหญ่–ปริมาตรทรงกระบอกเล็ก

                                                                            =   R²h - r²h    
ปริมาตรของทรงกระบอกกลวง   =  h (R² - r²)

                        4.  กรวย  คือ  ทรงสามมิติใด ๆ  ที่มีฐานเป็นรูปวงกลม  มียอดแหลมที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกันกับฐาน
และเส้นต่อระหว่างจุดยอดและจุดใด ๆ  บนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรง

พื้นที่ผิวข้างของกรวย  =  rL

            เมื่อนำพื้นที่ผิวข้างรวมกับพื้นที่ฐานของกรวยจะได้พื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวย

ดังนั้น  จะได้ว่า

                                            พื้นที่ผิวของกรวย        =  พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐาน

                                                             =  rL + r²

                                                            =  r (L+ r)

นั่นคือ  พื้นที่ผิวของกรวย        =  r (L+ r)

ปริมาตรของกรวย  =  r²h

5.  ทรงกลม  คือ  ทรงสามมิติที่มีผิวโค้งเรียบและจุดทุกจุดบนผิวโค้ง

เรียบอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะเท่ากัน

พื้นที่ผิวของทรงกลม  =  4r²ปริมาตรของทรงกลม  =  r³


ที่มา http://eduvc.oas.psu.ac.th/~user120/content.html