ทอรัส (เรขาคณิต)

ทอรัส

ทอรัส หรือ โทรัส (อังกฤษ: torus, พหูพจน์: tori) หรือ ทรงห่วงยาง คือผิวของการหมุนรอบชนิดหนึ่ง สร้างขึ้นจากการหมุนรูปวงกลมในปริภูมิสามมิติ รอบแกนเส้นตรงที่อยู่ในระนาบเดียวกันกับรูปวงกลม แต่ไม่ได้สัมผัสหรือตัดกับรูปวงกลม ตัวอย่างของวัตถุที่มีพื้นผิวอย่างทอรัสเช่น โดนัท และยางในของรถยนต์ (ห่วงยาง) ทรงตันหรือที่ว่างซึ่งบรรจุอยู่ภายในพื้นผิวจะเรียกว่า ทอรอยด์ (toroid)
รูปวงกลมที่หมุนรอบคอร์ด (เส้นตรงที่ตัดรูปวงกลม) อาจถูกเรียกว่าทอรัสในบางบริบท ซึ่งไม่ใช่การใช้งานโดยปกติในทางคณิตศาสตร์ รูปร่างที่เกิดขึ้นจากรูปวงกลมที่หมุนรอบคอร์ดจะมีลักษณะคล้ายหมอนกลมที่บุ๋มตรงกลาง ซึ่งคำว่า torus ในภาษาละตินแปลว่าหมอนนั่นเอง

ในทางเรขาคณิต

พื้นผิวทอรัสสามารถนิยามได้ด้วยสมการอิงตัวแปรเสริมดังนี้

$x (u, v) = (R + r \cos{v}) \cos{u} \,$

$y (u, v) = (R + r \cos{v}) \sin{u} \,$

$z (u, v) = r \sin{v} \,$

เมื่อ

u, v มีค่าอยู่ในช่วง [0, 2π]
R คือระยะจากจุดศูนย์กลางในทอรอยด์ ไปยังจุดศูนย์กลางของทอรัส
r คือระยะจากจุดศูนย์กลางในทอรอยด์ ไปตั้งฉากกับพื้นผิว (รัศมีของทอรอยด์)

ส่วนสมการในพิกัดคาร์ทีเซียนของทอรัสที่มีแกน z เป็นแกนหมุนคือ

$\left (R - \sqrt{x^2 + y^2}\right) ^2 + z^2 = r^2 \,\!$

ซึ่งเมื่อลดรูปรากที่สอง จะทำให้เกิดเป็นสมการกำลังสี่ดังนี้

$(x^2+y^2+z^2 + R^2 - r^2) ^2 = 4R^2 (x^2+y^2) \,\!$

พื้นที่ผิวและปริมาตรภายในของทอรัส สามารถคำนวณได้จาก

$A = 4 \pi^2 R r = \left ( 2\pi r \right) \left ( 2 \pi R \right) \,$

$V = 2 \pi^2 R r^2 = \left ( \pi r^2 \right) \left ( 2\pi R \right) \,$

สูตรเหล่านี้เหมือนกับสูตรพื้นที่ผิวข้างและปริมาตรของทรงกระบอกที่มีความยาว 2πR และมีรัศมี r ซึ่งสามารถสร้างได้จากการตัดทอรอยด์ออกข้างหนึ่งตามแนวขวาง แล้วดึงออกให้เป็นทรงกระบอกแนวตรง โดยให้มีความยาวเท่ากับเส้นรอบวงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางในทอรอยด์ พื้นที่ผิวและปริมาตรที่หายไปของผิวโค้งด้านใน จะเท่ากับพื้นที่ผิวและปริมาตรส่วนเกินของผิวโค้งด้านนอกอย่างพอดี

ในทางทอพอโลยี

ทอรัสคือผลคูณของรูปวงกลมสองวง

ทอรัสในทางทอพอโลยี คือผิวปิดที่นิยามโดยผลคูณของรูปวงกลมสองวง S¹ × S¹ หรืออาจมองได้ว่าทอรัสวางตัวอยู่ใน C² และเป็นเซตย่อยของทรงกลมสี่มิติ (3-sphere) S³ ที่มีรัศมี √2 ทอรัสในลักษณะนี้มักจะเรียกว่า คลิฟฟอร์ดทอรัส (Clifford torus) ในความเป็นจริงแล้ว S³ ถูกบรรจุเติมเต็มด้วยกลุ่มของทอรัสเป็นโครงข่าย ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่สำคัญในการศึกษา S³ ที่เป็นมัดเส้นใย (fiber bundle) บน S² (นั่นคือ มัดเส้นใยฮอปฟ์ Hopf bundle)

ที่มา http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%97%E0%B8%AD%E0%B8%A3%E0%B8%B1%E0%B8%AA_(%E0%B9%80%E0%B8%A3%E0%B8%82%E0%B8%B2%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95)

tippa _darunikorn

วันอังคารที่ 10 มกราคม พ.ศ. 2555

เราขาคณิต

ทอรัส (เรขาคณิต)

ในทางเรขาคณิต

ในทางทอพอโลยี

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น